Bioestadística
 

 


 
 
Introducción a la probabilidad.


  AZAR y DESCONOCIMIENTO.

    El azar está relacionado con el desconocimiento. Un ejemplo nos puede ayudar; piense en un proceso industrial que produce grandes cantidades de un artículo determinado. No todos los artículos producidos son idénticos, cada artículo puede calificarse como "bueno'' o "defectuoso''. Si de toda la producción se escoge un artículo "a ciegas'', ese artículo puede resultar bueno o defectuoso. Esta es una situación azarosa (o aleatoria) y la parte esencial de este azar es que no sabemos si el artículo seleccionado es defectuoso. Claro que con experiencia en el proceso es posible cuantificar de una manera numérica qué tan probable es que el artículo sea defectuoso o nó.
 

AZAR e INCERTIDUMBRE.

    Hay otro concepto asociado al azar y es el de incertidumbre. Veamos un ejemplo. Respecto a una inversión, podemos estar contemplando invertir una cantidad de dinero. El retorno sobre la inversión puede ser fijo, como en el caso de una cuenta en un banco con interés fijo; pero pensemos en una empresa. El negocio puede resultar desde un gran éxito hasta un fracaso, es decir, la ganancia no es fija, sino que depende del éxito a obtener. Si no podemos evaluar qué tan factible es cada monto posible de la ganancia, tenemos una situación de incertidumbre. Por el contrario, si podemos tener una idea de qué tan probables son los diferentes resultados y entonces tendremos una situación de riesgo. Esta última es la que llamamos aleatoria o azarosa.


 

ESPACIO MUESTRAL Y PROBABILIDAD.

    El párrafo anterior se resume diciendo que en las situaciones o experimentos aleatorios tenemos dos elementos esenciales:

Una lista de posibilidades a futuro: espacio muestral
Una cuantificación de la incertidumbre sobre esa lista de posibilidades: asignación de probabilidades.
Cualquier problema o situación en la probabilidad, parte de esos dos elementos: Espacio Muestral y Probabilidades.


ESPACIO MUESTRAL.

    El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento o situación aleatoria.

    Si en una caja hay 10 manzanas y 2 están echadas a perder (¡al menos en este momento!), al extraer tres manzanas y ver cuantas son buenas podemos obtener 1, 2 o 3 buenas (¡0 buenas es imposible!). De modo que en este ejemplo el espacio muestral es: { 1, 2, 3 }.

    Si un juego consiste en tirar todas las aves que hagan falta hasta obtener tres perdoces seguidas o hasta que sean 15 aves, si nos fijamos en el número de aves requeridas, el espacio muestral es: { 3, 4, 5, . . . , 15 }. Pero si nos fijáramos en el número de disparos que resultan, entonces el espacio muestral es: { 0, 1, 2, . . . , 15 }.

    Es claro que para determinar el espacio muestral en un experimento aleatorio es necesario entender perfectamente:

Qué se va a hacer.
Qué se va a observar o contar.


EVENTOS o SUCESOS.

    Cuando se tiene un espacio muestral llamamos, formalmente evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral.

    Decimos que un suceso se realiza, cuando el resultado del experimento aleatorio es uno de los sucesos posibles.

    Las dos definiciones anteriores son muy abstractas. Veamos un par de ejemplos.

    En el caso de contar cuantas aves hacen falta para conseguir tres perdoces seguidas o tirar 15 aves; el espacio muestral son los números: 3, 4, 5, . . . , 15. Un evento podría ser { 3, 5, 7, . . . , 15}. Este evento corresponde a que el número de tiros necesario sea nón. Si al hacer los disparos los resultados fueran:

    PPSPPSSSPPP (aquí nos detenemos porque han caído ya, tres perdices seguidas), el evento si se realizó porque el número necesario fue 11 y es nón.

    SSSPPP (aquí paramos porque ya hay tres perdices), el evento no se realizó.

Podemos pensar que cada experimento al azar es un juego y que un evento es una lista de los resultados que hacen que YO gane.

    Otro ejemplo más. Al comprar llantas para mi coche, puede ser que manifiesten un defecto de fabricación dentro del período de garantía total y que el fabricante deba reponerlas. También puede pasar que el defecto se manifieste en el período de garantía parcial y que el fabricante bonifique sólo un porcentaje o que el defecto se manifieste después de vencido el período de garantía en cuyo caso el fabricante no paga nada. También puede pasar que las llantas no tengan defecto de fabricación aparente y que no haya garantía que reclamar. Como se puede considerar que las llantas que me vendieron se escogieron al azar de entre toda la producción, tenemos un experimento aleatorio.

    El espacio muestral en este experimento es: S = { T, P1, P2, P3, N, OK }. Con la siguiente notación

T: pago total,
P1 pago del 50%,
P2: pago del 30%,
P3: pago del 10%,
N: nada de pago,
OK: llantas sin defecto.
    El suceso { OK } sólo se realiza cuando las llantas no tienen defecto.

    En este último ejemplo se tiene un suceso simple porque consta de un solo punto del espacio muestral. Será compuesto cuando tenga varios puntos del espacio muestral. Se llama suceso imposible al que no puede ocurrir; éste evento corresponde al conjunto vacío. Otro suceso extremo es el espacio muestral mismo que, puesto que siempre ocurre, se llama suceso o evento seguro.

La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.
Ejemplo : tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un número par, o que salga un número menor que 4.
El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y esto aún realizando el experimento en las mismas condiciones. Por lo tanto, a priori no se conoce cual de los resultados se va a presentar:
Ejemplo : lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de antemano cual de ellos va a salir.

En la Lotería de Navidad, el "Gordo" (en España se llama "Gordo" al primer premio) puede ser cualquier número entre el 1 y el 100.000, pero no sabemos a priori cual va a ser (si lo supiéramos no estaríamos aquí escribiendo esta lección).

Hay experimentos que no son aleatorios y por lo tanto no se les puede aplicar las reglas de la probabilidad.
Ejemplo : en lugar de tirar la moneda al aire, directamente selccionamos la cara. Aquí no podemos hablar de probabilidades, sino que ha sido un resultado determinado por uno mismo.
 
Antes de calcular las probabilidades de un experimento aleaotorio hay que definir una serie de conceptos:
Suceso elemental: hace referencia a cada una de las posibles soluciones que se pueden presentar.
Ejemplo : al lanzar una moneda al aire, los sucesos elementales son la cara y la cruz. Al lanzar un dado, los sucesos elementales son el 1, el 2, .., hasta el 6.
Suceso compuesto: es un subconjunto de sucesos elementales.
Ejemplo : lanzamos un dado y queremos que salga un número par. El suceso "numero par" es un suceso compuesto, integrado por 3 sucesos elementales: el 2, el 4 y el 6

O, por ejemplo, jugamos a la ruleta y queremos que salga "menor o igual que 18". Este es un suceso compuesto formado por 18 sucesos elementales (todos los números que van del 1 al 18).

Espacio muestral: se denomina al conjunto de todos los posibles sucesos elementales. Cada experimento aleatorio tiene definido su espacio muestral (es decir, un conjunto con todas las soluciones posibles).
Ejemplo : si tiramos una moneda al aíre una sola vez, el espacio muestral será cara o cruz.

Si el experimento consiste en lanzar una moneda al aire dos veces, entonces el espacio muestral estaría formado por (cara-cara), (cara-cruz), (cruz-cara) y (cruz-cruz).


Entre los sucesos compuestos se pueden establecer distintas relaciones:

a) Un suceso puede estar contenido en otro: las posibles soluciones del primer suceso también lo son del segundo, pero este segundo suceso tiene además otras soluciones suyas propias.

Ejemplo:lanzamos un dado y analizamos dos sucesos:
a) que salga el número 6, y
b) que salga un número par.
Vemos que el suceso a) está contenido en el suceso b)
Siempre que se da el suceso a) se da el suceso b), pero no al contrario. Por ejemplo, si el resultado fuera el 2, se cumpliría el suceso b), pero no el el a).


b) Dos sucesos pueden ser iguales: esto ocurre cuando siempre que se cumple uno de ellos se cumple obligatoriamente el otro y viceversa.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:
a) que salga número par, y
b) que salga múltiplo de 2.
Vemos que las soluciones coinciden en ambos casos.
c) Unión de dos o más sucesos: la unión será otro suceso formado por todos los elementos de los sucesos que se unen.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:
a) que salga número par y
b) que el resultado sea mayor que 3.
El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6
d) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de dos o más sucesos que se intersectan.
Ejemplo : lanzamos un dado al aire, y analizamos dos sucesos:
a) que salga número par, y
b) que sea mayor que 4.
La intersección de estos dos sucesos tiene un sólo elemento, el número 6 (es el único resultado común a ambos sucesos: es mayor que 4 y es número par).
e) Sucesos incompatibles: son aquellos que no se pueden dar al mismo tiempo ya que no tienen elementos comunes (su interesección es el conjunto vacio).
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:
a) que salga un número menor que 3, y
b) que salga el número 6.
Es evidente que ambos no se pueden dar al mismo tiempo.
f) Sucesos complementarios: son aquellos que si no se da uno, obligatoriamente se tiene que dar el otro.
Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos:
a) que salga un número par, y
b) que salga un número impar.
Vemos que si no se da el primero se tiene que dar el segundo (y viceversa).
 
Probabilidad de sucesos
Al definir los sucesos hablamos de las diferentes relaciones que pueden guardar dos sucesos entre sí, así como de las posibles relaciones que se pueden establecer entre los mismos. Vamos a ver ahora cómo se refleja esto en el cálculo de probabilidades.

a) Un suceso puede estar contenido en otro: entonces, la probabilidad del primer suceso será menor que la del suceso que lo contiene.

Ejemplo : lanzamos un dado y analizamos dos sucesos: a) que salga el número 6, y b) que salga un número par. Dijimos que el suceso a) está contenido en el suceso b).
P(A) = 1/6 = 0,166

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto, podemos ver que la probabilidad del suceso contenido, suceso a), es menor que la probabilidad del suceso que lo contiene, suceso b).

b) Dos sucesos pueden ser iguales : en este caso, las probabilidades de ambos sucesos son las mismas.

Ejemplo : lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que salga múltiplo de 2. Las soluciones coinciden en ambos casos.
P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

c) Intersección de sucesos: es aquel suceso compuesto por los elementos comunes de los dos o más sucesos que se intersectan. La probabilidad será igual a la probabilidad de los elemntos comunes.

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que sea mayor que 3. La intersección de estos dos sucesos tiene dos elementos: el 4 y el 6.
Su probabilidad será por tanto:
P(A L B) = 2 / 6 = 0,33

d) Unión de dos o más sucesos: la probabilidad de la unión de dos sucesos es igual a la suma de las probabilidades individuales de los dos sucesos que se unen, menos la probabilidad del suceso intersección

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga número par, y b) que el resultado sea mayor que 3. El suceso unión estaría formado por los siguientes resultados: el 2, el 4, el 5 y el 6.
P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

P (A L B) = 2 / 6 = 0,33

Por lo tanto,
P (A u B) = (0,50 + 0,50) - 0,33 = 0,666

e) Sucesos incompatibles: la probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles será igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los sucesos (ya que su intersección es el conjunto vacio y por lo tanto no hay que restarle nada).

Ejemplo: lanzamos un dado al aire y analizamos dos sucesos: a) que salga un número menor que 3, y b) que salga el número 6.
La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 2 / 6 = 0,333

P(B) = 1 / 6 = 0,166

Por lo tanto,
P(A u B) = 0,33 + 0,166 = 0,50

f) Sucesos complementarios: la probabilidad de un suceso complementario a un suceso (A) es igual a 1 - P(A)

Ejemplo: lanzamos un dado al aire. el suceso (A) es que salga un número par, luego su complementario, suceso (B), es que salga un número impar.
La probabilidad del suceso (A) es igual a :
P(A) = 3 / 6 = 0,50
Luego, la probabilidad del suceso (B) es igual a:
P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0,50 = 0,50
Se puede comprobar aplicando la regla de "casos favorables / casos posibles":
P(B) = 3 / 6 = 0,50

g) Unión de sucesos complementarios: la probabilidad de la unión de dos sucesos complementarios es igual a 1.

Ejemplo: seguimos con el ejemplo anterior: a) que salga un número par, y b) que salga un número impar. La probabilidad del suceso unión de estos dos sucesos será igual a:
P(A) = 3 / 6 = 0,50

P(B) = 3 / 6 = 0,50

Por lo tanto,
P(A U B) = 0,50 + 0,50 = 1
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Ultima modificación: 15-V-2003.