Bioestadística
 

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Distribuciones continuas: uniforme y normal (Gausiana).

Distribuciones continuas: Uniforme.

La distribución uniforme es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

Es una distribución continua porque puede tomar cualquier valor y no únicamente un número determinado (como ocurre en las distribuciones discretas).

Ejemplo: el precio medio del litro de gasolina durante el próximo año se estima que puede oscilar entre 140 y 160 ptas. Podría ser, por tanto, de 143 ptas., o de 143,4 ptas., o de 143,45 ptas., o de 143,455 ptas, etc. Hay infinitas posibilidades, todas ellas con la misma probabilidad.
Su función de densidad, aquella que nos permite conocer la probabilidad que tiene cada punto del intervalo, viene definida por:

Donde:

b: es el extremo superior (en el ejemplo, 160 ptas.)

a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 140 ptas.)

Por lo tanto, la función de distribución del ejemplo sería:

Es decir, que el valor final esté entre 140 ptas. y 141 ptas. tiene un 5% de probabilidad, que esté entre 141 y 142, otro 5%, etc.

El valor medio de esta distribución se calcula:

En el ejemplo:

Por lo tanto, el precio medio esperado de la gasolina para el próximo año es de 150 ptas.

Veamos otro ejemplo:

El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada:

Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.

El valor medio esperado es:

Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el próximo año es de 450 litros.
 
 

Distribuciones continuas: Normal o Gaussiana.
 

Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal.

Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución:
 
 

Un 50% de los valores están a la dercha de este valor central y otro 50% a la izquierda

Esta distribución viene definida por dos parámetros:

X: N (m, s2)

m : es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).

s2 : es la varianza. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy alejados de ella. Se representa por s2 porque su raiz cuadrada, s, es la denominada desviación estandar.

Cuando la media de la distribución es 0 y la varianza es 1, se denomina "normal tipificada", y su ventaja reside en que hay tablas, o rutinas de cálculo que permiten obtener esos mismos valores, donde se recoge la probabilidad acumulada para cada punto de la curva de esta distribución.

Además, toda distribución normal se puede transformar en una normal tipificada:

Ejemplo:una variable aleatoria sigue el modelo de una distribución normal con media 10 y varianza 4. Transformarla en una normal tipificada.

X: N (10, 4)

Para transformarla en una normal tipificada se crea una nueva variable (Y) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por su desviación típica (que es la raíz cuadrada de la varianza)

En el ejemplo, la nueva variable sería:

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada, permitiéndonos, por tanto, conocer la probabilidad acumulada en cada valor.

Y: N (0, 1)
 

La distribución normal tipificada tiene la ventaja, como ya hemos indicado, de que las probabilidades para cada valor de la curva se encuentran recogidas en una tabla.
 
X
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0
0,5000
0,5040
0,5080
0,5120
0,5160
0,5199
0,5239
0,5279
0,5319
0,5359
0,1
0,5398
0,5438
0,5478
0,5517
0,5557
0,5596
0,5636
0,5675
0,5714
0,5723
0,2
0,5793
0,5832
0,5871
0,5910
0,5948
0,5987
0,6026
0,6064
0,6103
0,6141
0,3
0,6179
0,6217
0,6255
0,6293
0,6331
0,6368
0,6406
0,6443
0,6480
0,6517
0,4
0,6554
0,6591
0,6628
0,6664
0,6700
0,6736
0,6772
0,6808
0,6844
0,6879
0,5
0,6915
0,6950
0,6985
0,7019
0,7054
0,7088
0,7123
0,7157
0,7090
0,7224
0,6
0,7257
0,7291
0,7324
0,7357
0,7389
0,7422
0,7454
0,7486
0,7517
0,7549
0,7
0,7580
0,7611
0,7642
0,7673
0,7704
0,7734
0,7764
0,7794
0,7813
0,7852
0,8
0,7881
0,7910
0,7939
0,7967
0,7995
0,8023
0,8051
0,8078
0,8106
0,8133
0,9
0,8159
0,8186
0,8212
0,8238
0,8264
0,8289
0,8315
0,8340
0,8365
0,8389
1,0
0,8416
0,8438
0,8461
0,8485
0,8508
0,8531
0,8554
0,8577
0,8599
0,8621
1,1
0,8643
0,8665
0,8686
0,8708
0,8729
0,8749
0,8770
0,8790
0,8810
0,8830
1,2
0,8849
0,8869
0,8888
0,8907
0,8925
0,8944
0,8962
0,8980
0,8997
0,9015
1,3
0,9032
0,9049
0,9066
0,9082
0,9099
0,9115
0,9131
0,9147
0,9162
0,9177
1,4
0,9192
0,9207
0,9222
0,9236
0,9251
0,9265
0,9279
0,9292
0,9306
0,9319
1,5
0,9332
0,9345
0,9357
0,9370
0,9382
0,9394
0,9406
0,9418
0,9429
0,9441
1,6
0,9452
0,9463
0,9474
0,9484
0,9495
0,9505
0,9515
0,9525
0,9535
0,9545
1,7
0,9554
0,9564
0,9573
0,9582
0,9591
0,9599
0,9608
0,9616
0,9625
0,9633
1,8
0,9641
0,9649
0,9656
0,9664
0,9671
0,9678
0,9686
0,9693
0,9699
0,9706
1,9
0,9713
0,9719
0,9726
0,9732
0,9738
0,9744
0,9750
0,9756
0,9761
0,9767
2,0
0,97725
0,97778
0,97831
0,97882
0,97932
0,97982
0,98030
0,98077
0,98124
0,98169
2,1
0,98214
0,98257
0,98300
0,98341
0,98382
0,98422
0,98461
0,98500
0,98537
0,98574
2,2
0,98610
0,98645
0,98679
0,98713
0,98745
0,98778
0,98809
0,98840
0,98870
0,98899
2,3
0,98928
0,98956
0,98983
0,99010
0,99036
0,99061
0,99086
0,99111
0,99134
0,99158
2,4
0,99180
0,99202
0,99224
0,99245
0,99266
0,99286
0,99305
0,99324
0,99343
0,99361
2,5
0,99379
0,99396
0,99413
0,99430
0,99446
0,99461
0,99477
0,99492
0,99506
0,99520
2,6
0,99534
0,99547
0,99560
0,99573
0,99585
0,99598
0,99609
0,99621
0,99632
0,99643
2,7
0,99653
0,99664
0,99674
0,99683
0,99693
0,99702
0,99711
0,99720
0,99728
0,99736
2,8
0,99744
0,99752
0,99760
0,99767
0,99774
0,99781
0,99788
0,99795
0,99801
0,99807
2,9
0,99813
0,99819
0,99825
0,99831
0,99836
0,99841
0,99846
0,99851
0,99856
0,99861

¿Cómo se lee esta tabla?

La columna de la izquierda indica el valor cuya probabilidad acumulada queremos conocer. La primera fila nos indica el segundo decimal del valor que estamos consultando.

Ejemplo: queremos conocer la probabilidad acumulada en el valor 2,75.Entonces buscamos en la columna de la izquierda el valor 2,7 y en la primera fila el valor 0,05. La casilla en la que se interseccionan es su probabilidad acumulada (0,99702, es decir 99.7%).
Atención: la tabla nos da la probabilidad acumulada, es decir, la que va desde el inicio de la curva por la izquierda hasta dicho valor. No nos da la probabilidad concreta en ese punto. En una distribución continua en el que la variable puede tomar infinitos valores, la probabilidad en un punto concreto es prácticamente despreciable.
Ejemplo: Imaginemos que una variable continua puede tomar valores entre 0 y 5. La probabilidad de que tome exactamente el valor 2 es despreciable, ya que podría tomar infinitos valores: por ejemplo: 1,99, 1,994, 1,9967, 1,9998, 1999791, etc.
Veamos otros ejemplos:
Probabilidad acumulada en el valor 0,67: la respuesta es 0,7486

Probabilidad acumulada en el valor 1,35: la respuesta es 0,9115

Probabilidad acumulada en el valor 2,19: la respuesta es 0,98574

Veamos ahora, como podemos utilizar esta tabla con una distribución normal:
Ejemplo:el salario medio de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media 5 millones de ptas. y desviación típica 1 millón de ptas. Calcular el porcentaje de empleados con un sueldo inferior a 7 millones de ptas.

Lo primero que haremos es transformar esa distribución en una normal tipificada, para ello se crea una nueva variable (Y) que será igual a la anterior (X) menos su media y dividida por la desviación típica

En el ejemplo, la nueva variable sería:

Esta nueva variable se distribuye como una normal tipificada. La variable Y que corresponde a una variable X de valor 7 es:

Ya podemos consultar en la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a la probabilidad de sueldos inferiores a 7 millones de ptas.). Esta probabilidad es 0,97725

Por lo tanto, el porcentaje de empleados con salarios inferiores a 7 millones de ptas. es del 97,725%.

Ejercicio 1º: La renta media de los habitantes de un país es de 4 millones de ptas/año, con una varianza de 1,5. Se supone que se distribuye según una distribución normal. Calcular:

a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas.

b) Renta a partir de la cual se sitúa el 10% de la población con mayores ingresos.

c) Ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media.

a) Porcentaje de la población con una renta inferior a 3 millones de ptas.
Lo primero que tenemos que hacer es calcular la normal tipificada:

(*) Recordemos que el denominador es la desviación típica ( raíz cuadrada de la varianza)

El valor de Y equivalente a 3 millones de ptas es -0,816.

P (X < 3) = P (Y < -0,816)

Ahora tenemos que ver cuál es la probabilidad acumulada hasta ese valor. Tenemos un problema: la tabla de probabilidades (ver lección 35) sólo abarca valores positivos, no obstante, este problema tiene fácil solución, ya que la distribución normal es simétrica respecto al valor medio.

Por lo tanto:

P (Y < -0,816) = P (Y > 0,816)

Por otra parte, la probabilidad que hay a partir de un valor es igual a 1 (100%) menos la probabilidad acumulada hasta dicho valor:

P (Y > 0,816) = 1 - P (Y < 0,816) = 1 - 0,7925 (aprox.) = 0,2075

Luego, el 20,75% de la población tiene una renta inferior a 3 millones ptas.

b) Nivel de ingresos a partir del cual se sitúa el 10% de la población con renta más elevada.
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,9 (90%), lo que quiere decir que por encima se sitúa el 10% superior.

Ese valor corresponde a Y = 1,282 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:

Despejando X, su valor es 5,57. Por lo tanto, aquellas personas con ingresos superiores a 5,57 millones de ptas. constituyen el 10% de la población con renta más elevada.

c) Nivel de ingresos mínimo y máximo que engloba al 60% de la población con renta media.
Vemos en la tabla el valor de la variable normalizada Y cuya probabilidad acumulada es el 0,8 (80%). Como sabemos que hasta la media la probabilidad acumulada es del 50%, quiere decir que entre la media y este valor de Y hay un 30% de probabilidad.

Por otra parte, al ser la distribución normal simétrica, entre -Y y la media hay otro 30% de probabilidad. En definitiva, el segmento (-Y, Y) engloba al 60% de población con renta media.

El valor de Y que acumula el 80% de la probabilidad es 0,842 (aprox.), por lo que el segmento viene definido por (-0,842, +0,842). Ahora calculamos los valores de la variable X correspondientes a estos valores de Y.

Los valores de X son 2,97 y 5,03. Por lo tanto, las personas con ingresos superiores a 2,97 millones de ptas. e inferiores a 5,03 millones de ptas. constituyen el 60% de la población con un nivel medio de renta.

Ejercicio 2º: La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:
a) ¿Cuántas personas superarán previsiblemente los 75 años?

b) ¿Cuántos vivirán menos de 60 años?

a) Personas que vivirán (previsiblemente) más de 75 años.
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 75 años

Por lo tanto

P (X > 75) = (Y > 1,4) = 1 - P (Y < 1,4) = 1 - 0,9192 = 0,0808

Luego, el 8,08% de la población (808 habitantes) vivirán más de 75 años.

b) Personas que vivirán (previsiblemente) menos de 60 años.
Calculamos el valor de la normal tipificada equivalente a 60 años

Por lo tanto

P (X < 60) = (Y < -1,6) = P (Y > 1,6) = 1 - P (Y < 1,6) = 0,0548

Luego, el 5,48% de la población (548 habitantes) no llegarán probablemente a esta edad.
 

Ejercicio 3º: El consumo medio anual de cerveza de los habitantes de una país es de 59 litros, con una varianza de 36. Se supone que se distribuye según una distribución normal.

a) Si usted presume de buen bebedor, ¿cuántos litros de cerveza tendría que beber al año para pertenecer al 5% de la población que más bebe?.

b) Si usted bebe 45 litros de cerveza al año y su mujer le califica de borracho ¿qué podría argumentar en su defensa?

a) 5% de la población que más bebe.
Vemos en la tabla el valor de la variable tipificada cuya probabilidad acumulada es el 0,95 (95%), por lo que por arriba estaría el 5% restante.
Ese valor corresponde a Y = 1,645 (aprox.). Ahora calculamos la variable normal X equivalente a ese valor de la normal tipificada:

Despejando X, su valor es 67,87. Por lo tanto, tendría usted que beber más de 67,87 litros al año para pertenecer a ese "selecto" club de grandes bebedores de cerveza.

b) Usted bebe 45 litros de cerceza al año. ¿Es usted un borracho?
Vamos a ver en que nivel de la población se situaría usted en función de los litros de cerveza consumidos.

Calculamos el valor de la normal tipificada correspondiente a 45 litros:

Por lo tanto

P (X < 45) = (Y < -2,2) = P (Y > 2,2) = 1 - P (Y < 2,2) = 0,0139

Luego, tan sólo un 1,39% de la población bebe menos que usted. Parece un argumento de suficiente peso para que dejen de catalogarle de "enamorado de la bebida"
Ejercicio 4º: A un examen de oposición se han presentado 2.000 aspirantes. La nota media ha sido un 5,5, con una varianza de 1,5.
a) Tan sólo hay 100 plazas. Usted ha obtenido un 7,7. ¿Sería oportuno ir organizando una fiesta para celebrar su éxito?

b) Va a haber una 2ª oportunidad para el 20% de notas más altas que no se hayan clasificados. ¿A partir de que nota se podrá participar en esta "repesca"?

a) Ha obtenido usted un 7,7 de nota en su prueba.
Vamos a ver con ese 7,7 en que nivel porcentual se ha situado usted, para ello vamos a comenzar por calcular el valor de la normal tipificada equivalente.

A este valor de Y le corresponde una probabilidad acumulada (ver tablas) de 0,98214 (98,214%), lo que quiere decir que por encima de usted tan sólo se encuentra un 1,786%.

Si se han presentado 2.000 aspirantes, ese 1,786% equivale a unos 36 aspirantes. Por lo que si hay 100 plazas disponibles, tiene usted suficientes probabilidades como para ir organizando la "mejor de las fiestas".

b) "Repesca" para el 20% de los candidatos.
Vemos en la tabla el valor de la normal tipificada que acumula el 80% de la probabilidad, ya que por arriba sólo quedaría el 20% restante.

Este valor de Y corresponde a 0,842 (aprox.). Ahora calculamos el valor de la normal X equivalente:

Despejamos la X y su valor es 6,38. Por lo tanto, esta es la nota a partir de la cual se podrá acudir a la "repesca".
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Ultima modificación: 15-V-2003.